问题

饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。 市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。

分析

投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随着时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大

建模及求解

估计 $r=2, g=0.1$若当前出售, 利润为 $80 \times 8=640$ （元） $t$ 天 生猪体重 $w=80+r t$ 销售收入 $R=p w$

出售 出售价格 $p=8-g t \quad$ 资金投入 $C=4 t$ ，利润 $Q=R-C=p w-C \quad Q(t)=(8-g t)(80+r t)-4 t$ 求 $t$ 使 $Q(t)$ 最大 $t=\frac{4 r-40 g-2}{r g}=\mathbf{1 0}$ $Q(10)=660>640$ 得到$10$ 天后出售, 可多得利润 20 元

敏感性分析

$$ t=\frac{4 r-40 g-2}{r g} $$

研究 $r, g$变化时对模型结果的影响 估计$r=2， g=0.1$

$t$ 对 $r$ 的（相对)敏感度 $$ \begin{aligned} &S(t, r)=\frac{\Delta t / t}{\Delta r / r} \approx \frac{d t}{d r} \frac{r}{t} \\ &S(t, r) \approx \frac{60}{40 r-60}=3 \end{aligned} $$

生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。

$\boldsymbol{t}$ 对 $\boldsymbol{g}$ 的（相对）敏感度 $$ \begin{aligned} &S(t, g)=\frac{\Delta t / t}{\Delta g / g} \approx \frac{d t}{d g} \frac{g}{t} \\ &S(t, g)=-\frac{3}{3-20 g}=-3 \end{aligned} $$

生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%.

强健性分析

研究 $\boldsymbol{r}, \boldsymbol{g}$ 不是常数时对模型结果的影响 $$ \begin{gathered} \boldsymbol{w}=\mathbf{8 0}+\boldsymbol{r} \boldsymbol{t} \rightarrow \boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}(\boldsymbol{t}) \\ \boldsymbol{p}=\mathbf{8 -} \boldsymbol{g} \boldsymbol{t} \rightarrow \boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}(\boldsymbol{t}) \\ Q^{\prime}(t)=0 \Rightarrow p^{\prime}(t) w(t)+p(t) w^{\prime}(t)=4 \end{gathered} $$

保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售 由 $S(\boldsymbol{t}, \boldsymbol{r})=\mathbf{3}$ 若 $1.8 \leq w^{\prime} \leq 2.2(\mathbf{1 0 \%})$, 则 $7 \leq t \leq 13(\mathbf{3 0 \%})$

建议过一周后(t=7)重新估计$ p, p^{\prime}, w, w^{\prime}$ , 再作计算。

来源